信号与系统简明教程_何兆湘,叶念渝,鲁世斌主编_9787568023771

本书主要阐述确定性信号的时域分析和频域分析，线性时不变系统的描述与特性，以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。简要介绍了信号与系统的基本理论和方法在通信系统和生物医学系统中的应用。本书根据信息科学与技术发展趋势，结合近年来教学改革的成果，按照连续和离散并行、先时域后变换域的结构体系，对课程的内容做了较大幅度的更新。内容取材上突出基本理论、基本概念和基本方法，淡化计算技巧，引入MATLAB作为信号与系统分析的工具。注重实例分析，增编了工程性和综合设计性的例题和习题。

“信号与系统”是电类专业的一门重要的理论基础课。本课程是使用数学方法来阐明现代通信（包括电话、广播、电视、计算机网络等）的基本原理，讲述现代通信系统的基本单元电路如何传输和处理电信号，从而实现信息的传播和交流。“信号与系统”课程所使用的分析问题的方法以及所得到的结论，对很多学科都是适用的，除电类学科之外，还包括工程、经济、社会、生物等诸多学科，所以在很多大学中，越来越多的专业开设了这门课程。

本书是何兆湘副教授积20余年讲授“信号与系统”课程的心得，并参阅国内外相关教材的基础上编写的。其中，有一些公式的计算，是编者首先提出并运用的。例如，信号的平移、倍乘、反褶的联合运用的解析算法，带有奇异函数的信号微分的解析算法及其在图像信号处理中的应用，又如有始信号的卷积计算公式、线性时不变连续（离散）时间系统运算符的提出与运用，这些内容编者在国内外流行的相关教材中均未见到详细的论述，为编者的创新成果（也许在其他的文献中出现过，但编者未曾接触到）。对于线性系统无失真传输的讨论，本书考虑了输出信号与输入信号的比例系数为负数的情况，并根据讨论的结果成功地提出了反相放大器实现无失真传输的频率范围；对于傅里叶变换的频域积分性质，本书也给出了数学证明等，诸如此类，都是其他教材中未给出的，是编者辛勤劳动的成果。

本书的一个特点就是避免了大量的公式推导，而代之以实际的例题计算，这种论述方式特别适合从事工程应用的读者。当然，这种编写方式，有利也有弊，但总体来说还是利大于弊。希望读者自己去推导相关的公式，以提高自身能力。

本书共分为八章，各章内容分别简要介绍如下。

第1章为信号与系统的基础知识。其主要内容包括：信号的概念、信号与函数的关系；信号的分类；信号的运算；信号的分解；奇异信号的概念及其运算、系统的概念；系统的分类等。

第2章为连续时间系统的时域分析。其主要内容包括：根据电路结构列系统方程，用微分算子表示微分方程，求转移算子式H(p)及系统函数H(s)；用时域经典法求解；零输入响应和零状态响应；冲激响应和阶跃响应，用拉普拉斯逆变换求系统的冲激响应h(t)；线性时不变连续时间系统的定义、性质与应用等；用卷积求系统的零状态响应，卷积的一般定义式；有始信号的卷积计算；卷积的性质与常用卷积公式；卷积结果的两种表达式与图形表示等。

第3章为连续时间信号的频谱密度函数。其主要内容包括：从周期信号的三角函数形式傅里叶级数到指数形式的傅里叶级数、再到非周期信号的傅里叶变换的演变过程，以及与此有关的公式及系数公式；周期信号展开成三角函数形式傅里叶级数的含义；常用周期信号的三角函数形式傅里叶级数展开式；傅里叶变换及逆变换在信号分析中的物理意义，求信号频谱密度函数的多种方法；傅里叶变换的基本性质；常用非周期信号的傅里叶变换；傅里叶变换的卷积定理的证明与应用等。

第4章为傅里叶变换的应用。其主要内容包括：系统的频域分析法及其优缺点；频域系统函数H(jω)；

滤波器的概念与理想滤波器；PaleyWiener定理；无失真传输的条件；调制与解调。

第5章为拉普拉斯变换与连续时间系统的复频域分析。其主要内容包括：单边0－系统的拉普拉斯变换的定义式及逆变换的表达式；按定义求基本函数的拉普拉斯变换并标明收敛域；拉普拉斯变换的基本性质；根据基本函数的拉普拉斯变换与拉普斯变换的性质求复杂函数的拉普拉斯变换；常用函数的拉普拉斯变换；部分分式展开后用查表法求反变换；电路元件的s域模型；用电路的s域模型图求解电路；连续时间系统的系统模拟，由简单情况到一般情况等。

第6章为系统函数及其应用。其主要内容包括：两种系统函数H(s)、H(jω)的定义；获取系统函数的方法；系统函数按选取的激励与响应的不同而作出的分类；系统函数的零点、极点的概念；系统函数的极点就是系统微分方程的特征根；系统函数的极点决定了冲激响应、零输入响应、零状态响应中自由响应的函数形式；系统函数的极点在s平面上的位置与系统稳定性的对应关系等。

第7章为离散时间系统的时域分析。其主要内容包括：离散时间信号与连续时间信号的关系，典型的离散时间信号；离散时间信号的描述方法、基本运算与分解；时域抽样定理的叙述与证明；两种差分方程所描述的离散时间系统的数学模拟，画直接模拟图；根据直接模拟图列写差分方程；用移序算子表示差分方程，转移算子式的获取；求零输入响应，特征方程、特征根的概念，用移序算子表示的特征方程；卷积和的定义式，因果序列、有始序列卷积和的计算，常用序列卷积和的公式及推导；用卷积和求零状态响应；单位样值响应的定义及时域求解法；完全响应的时域求解法；系统的因果性、稳定性时域判定法；用差分方程求解实际问题；线性移不变离散时间系统的定义及其线性性质、移不变性质的描述与应用等。

第8章为z变换与离散时间系统的z域分析。其主要内容包括：从拉普拉斯变换推导出z变换的过程； z变换的定义,收敛域的含义；典型序列的z变换；序列的分类及各类序列z变换的收敛域； z变换的主要性质及其证明；利用z变换的性质和典型序列的z变换求更多序列的z变换；常用序列的z变换表；用部分分式展开法求反z变换；离散时间系统的系统函数的定义及其应用；系统函数与各个方面的互求关系；用z变换解差分方程；系统函数的极点分布与系统特性的关系等。

对于各章教学学时的分配，建议如下：第1章4学时，第2章8学时，第3章10学时，第4章3学时，第5章10学时，第6章3学时，第7章7学时，第8章7学时，机动或复习4学时，共计56学时。

对于“第2章连续时间系统的时域分析”的教学，建议可不讲授“2.4时域经典法”，这并不影响该章的教学。同样，对于冲激响应的时域求解法，也可以不讲授，而只讲授通过转移算子式用拉普拉斯逆变换来求冲激响应的方法。

对于傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换等三个变换的讲授，可直接从定义开始讲授，而对于为什么要这样定义，以及各变换之间的关系，都可以不讲授。同样，对于各章难度较大的例题或习题，也都可以不讲或少讲，而留给愿意在这方面深入学习的学生自学。类似的情况不再一一指出。因此，对于目录或书中标注了*号标记的内容，建议不讲，留给学生自主选学。

在计算机科学与技术飞速发展，其应用越来越广泛的今天，传统“信号与系统”教材中关于模拟技术的理论确实需要进行适当的、必要的删减和压缩。

本书由文华学院何兆湘和叶念渝、合肥师范学院鲁世斌担任主编，由广东技术师范学院天河学院傅婉丽、武汉华夏理工学院李莉、哈尔滨石油学院白娜、武汉传媒学院杨瑞、西北师范大学知行学院刘玮担任副主编。中，何兆湘编写了第3章和习题答案，叶念渝编写了第6章，鲁世斌编写了第8章，傅婉丽编写了第2章，李莉编写了第5章，白娜编写了第7章，杨瑞编写了第4章，刘玮编写了第1章，最后由何兆湘审核并统稿。

为了方便教学，本书还配有电子课件等教学资源包，任课教师和学生可以登录“我们爱读书”网(www.ibook4us.com)免费注册并浏览，或者发邮件至hustpeiit@163.com免费索取。

本书在编写过程中，得到了文华学院各级领导的大力支持和帮助，在此表示衷心的感谢。还要感谢华中科技大学出版社的相关编辑，没有他们的努力和帮助，本书也不可能及时而顺利地出版。

由于编者学识及水平有限，书中难免有错误和不妥之处，敬请读者批评指正，编者在此致以谢意。

编者

2016年12月

第3章连续时间信号的频谱密度函数

第 3 章连续时间信号的频谱密度函数 (1) 从周期信号的三角函数形式傅里叶级数到指数形式的傅里叶级数、再到非周期信号的傅里叶变换的演变过程，与此有关的公式及系数公式； (2) 周期信号展成三角函数形式傅里叶级数的含义； (3) 常用周期信号的三角函数形式傅里叶级数展开式； (4) 傅里叶变换及逆变换在信号分析中的物理意义，求信号频谱密度函数的多种方法； (5) 傅里叶变换的基本性质； (6) 常用非周期信号的傅里叶变换； (7) 傅里叶变换的卷积定理的证明与应用。 3.1傅里叶级数在信号分析中的应用

3.1.1周期信号展开为三角函数形式的傅里叶级数在第1章的1.2.5节讨论了信号的时域分解，指出信号有多种分解方法。本章将讨论第5种分解方法：将一个信号分解为无数正弦信号的和，先讨论周期信号的分解。根据数学知识，若周期函数f(t)的周期为T，角频率Ω=2πT，且满足狄利克雷条件。狄利克雷(Dirichlet)条件：在一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内只有有限个极值点；在一个周期内函数绝对可积，即 ∫t0+T0|F(T)|dt<∞ 一般的周期信号都能满足狄利克雷条件，则周期信号f(t)可展开为三角函数形式的傅里叶级数： f(t)=a02+∑∞n=1［ancos(nΩt)+bnsin(nΩt)］ (3.1.1) 上式中，各系数的公式为： a0=2T∫T2-T2f(t)dt (3.1.2) an=2T∫T2-T2f(t)cos(nΩt)dt (3.1.3) bn= 2T∫T2-T2f(t)sin(nΩt)dt (3.1.4) 图3.1.1系数直角三角形为了把式(3.1.1)变成所需要的形式，可以构造一个如图3.1.1所示的系数直角三角形。则有： An=dn=a2n+b2n an=Ancosφn=dnsinθn bn=Ansin(-φn)=dncosθn tan(-φn)=bnantanθn=anbn 利用上述关系式，经过恒等变形，则式(3.1.1)可以变换为： f(t)=a02+∑∞n=1［ancos(nΩt)+bnsin(nΩt)］ =a02+∑∞n=1AnanAncos(nΩt)+bnAnsin(nΩt) =a02+∑∞n=1An［cosφncos(nΩt)-sinφnsin(nΩt)］ =a02+∑∞n=1Ancos(nΩt+φn) (3.1.5) 及 f(t)=a02+∑∞n=1dnsin(nΩt+θn) (3.1.6) 在信号分析中常用到式(3.1.5)，该式说明：周期信号可以分解为直流分量a02与无数余弦分量Ancos(nΩt+φn)之和。这些余弦分量的角频率ω只能是基频Ω=2πT的整数倍。 ● n=1时，余弦分量A1cos(Ωt+φ1)称为基波； ● n=2时，余弦分量A2cos(2Ωt+φ2)称为二次谐波； ● n=3时，余弦分量A3cos(3Ωt+φ3)称为三次谐波； ……其余依此类推。各次谐波的振幅为： An=a2n+b2n =2T∫T2-T2f(t)cos(nΩt)dt2+2T∫T2-T2f(t)sin(nΩt)dt2 (3.1.7) 是自变量ω=nΩ的函数，An~ω(nΩ)的图像称为幅度谱。各次谐波的相位为： φn=-arctanbnan=-arctan∫T2-T2f(t)sin(nΩt)dt∫T2-T2f(t)cos(nΩt)dt (3.1.8) 也是自变量ω=nΩ的函数，φn~ω(nΩ)的图像称为相位谱。由于自变量ω只能取离散值nΩ，所以幅度谱和相位谱都是离散谱。周期信号频谱的最大特点就是离散谱。如果已知周期信号f(t)在一个周期内的表达式，就可以通过系数公式求出An,φn的表达式，从而画出幅度谱和相位谱。以上所述就是三角函数形式的傅里叶级数在信号分析中的物理意义。图3.1.2周期矩形脉冲信号例3.1.1 周期矩形脉冲信号f(t)如图3.1.2所示，试画出f(t)的幅度谱和相位谱。解由图3.1.2写出f(t)在一个周期内的表达式如下： f(t)= A-τ20τ2① 根据系数公式(3.1.2)、(3.1.3)、(3.1.4)计算各系数为： a0=2T∫T/2-T/2f(t)dt=2T∫τ/2-τ/2Adt=2AτT ② an=2T∫T/2-T/2f(t)cos(nωt)dt=4T∫τ/20Acos(n2πTt)dt =2AnπsinnπτT=2AτTsinnπτTnπτT=2AτTSanπτT =2AτTSanΩτ2 ③ 因为f(t)为偶函数，所以bn=0。根据系数公式计算的结果，周期矩形脉冲信号f(t)的展开式为： f(t)=AτT+∑∞n=12AτTSanΩτ2·cos(nΩt) ④ 在上式中，a02=AτT为直流分量，因为bn=0，所以有： An=a2n+b2n=an=2AτTSanΩτ2 其为幅度谱，Ω=2πT。若知道A,T,τ的数值，即可画出An~ω的图形。在式④中未出现φn，实际上，由于 bn=0,φn=-arctanbnan=0。所以φn的取值只有两种情况，要么为0，要么为π。当an=2AτTSanΩτ2为正时，φn=0，当an为负时，φn=π。令A=2,τ=1,T=4，则Ω=π2,a02=12，则： An=an=2AτTSanΩt2=Sanπ4=sinnπ4nπ4 而An=sinnπ4nπ/4，计算n=1,2,3,…时的值，并列表如表3.1.1所示。根据表3.1.1中的数据，可画出An~ω,φn~ω的图形如图3.1.3所示。图3.1.3周期矩形脉冲信号的幅度谱与相位谱表3.1.1An,φn的计算表格A·n=sinnπ4nπ/4 n12345678…… ω=nωπ2π3π22π212π3π312π4π A·n0.9000.707A10.333A10-0.2A1-0.236A1-0.143A10 φn000πππ 注意：表3.1.1中各次谐波振幅的大小，是以基波振幅A1的大小来表示的，这种表示方法称为归一化。这样做既可以减小计算工作量，又可以比较各次谐波的相对大小。在频谱图中，通常用虚线将各条谱线的顶点连接起来，称为包络线。周期矩形脉冲信号幅度谱的包络线具有抽样函数曲线的形状。关于抽样函数，在3.3节中将会介绍。

3.1.2周期信号展开为复指数形式的傅里叶级数周期信号除了可以展开成三角函数形式的傅里叶级数外，还可以展开成复指数形式的傅里叶级数。对于同一个周期信号，这两种形式的傅里叶级数可以通过数学恒等变形相互转化。若周期信号f(t)的周期为T，角频率Ω=2πT，且满足狄利克雷条件，则可以展开成如下的复指数形式的傅里叶级数。 f(t)=∑+∞n=-∞FnejnΩt=∑+∞n=-∞F(nΩ)ejnΩt=∑+∞n=-∞CnejnΩt (3.1.9) 为了求出复指数形式傅里叶级数的系数(Fn或Cn)，可在上式两边同时乘以ejnΩt，且两边同时在一个周期内积分，由复指数形式傅里叶级数的特性，可得如下系数公式： Fn=F(nΩ)= ∫T0f(t)f(t)e-jnΩtdt ∫T0ejnΩTe-jnΩt= 1T∫T0f(t)e-jnΩtdt(n=0,±1,±2,…) (3.1.10) 积分周期也可选为-T/2到T/2，则系数公式为(三个系数符号Fn、Fn(nΩ)、Cn是等效的)： Fn=1T∫T/2-T/2f(t)e-jnΩtdt(n=0,±1,±2,±3,…) (3.1.11) 下面通过数学恒等变形，找出两种级数系数表达式之间的关系。根据欧拉公式，有: cosnΩt=12(ejnΩt+e-jnΩt) sinnΩt=12j(ejnΩt-e-jnΩt) 对于周期为T的周期信号f(t)，由展开式(3.1.5)，进行如下的数学恒等变形： f(t)=a02+∑∞n=1Ancos(nΩt+φn) =a02+∑∞n=1An2ej(nΩt+φn)+e－j(nΩt+φn) =a02+∑∞n=1An2ej(nω0t+φn)+∑∞n=1An2e－j(nω0t+φn)(令后面等式n=-m) =a02+∑∞n=1An2ej(nΩt+φn)+∑－∞m=－1A－m2e－j(－mΩt+φ－m) =a02+∑∞n=1An2ej(nΩt+φn)+∑－∞m=－1A－m2e－j(－mΩt－φm)(An为偶函数，φn为奇函数) =a02+∑∞n=1An2ej(nΩt+φn)+∑－∞m=－1Am2ej(mΩt+φm) =a02+∑∞n=1An2ej(nΩt+φn)+∑－∞n=－1An2ej(nΩt+φn)(将m换成n) =∑+∞n=－∞An2ej(nΩt+φn)=∑+∞n=－∞An2ejφnejnΩt (3.1.12) 式(3.1.9)是由周期信号f(t)直接展开得到的复指数形式的傅里叶级数，而式(3.1.12)则是先将周期信号f(t)展开成三角函数形式的傅里叶级数，再恒等变形得到的复指数形式的傅里叶级数。式(3.1.9)和式(3.1.12)表示的是同一个周期信号的复指数形式的傅里叶级数，因此，它们应该相等。比较两式即得到： Fn=Cn=12Anejφn (3.1.13) 式(3.1.13)说明复指数形式的傅里叶级数的系数(Fn有时用Cn表示)是一个复数，它的模为Fn=12An，相角为φn。 Fn是ω(=nΩ)的函数，其与ω(=nΩ)的关系称为复数频谱，是离散谱。 |Fn|和ω(=nΩ)的关系称为复数幅度频谱，是偶函数，是离散谱。因为Fn=12An，这说明复数幅度频谱是把三角函数形式的傅里叶级数的幅度频谱的每一根谱线平分得到的，欧拉公式明确地表示了这一点。只有n=0时是例外，此时F0=12A0=a02就是直流分量。

φn和ω(=nΩ)的关系称为复数相位频谱，是奇函数。从推导过程可以看出，两种级数的相位谱的表达式是相同的，二者的区别在于三角函数形式的傅里叶级数的相位谱中的n只能取正整数，而复数形式的傅里叶级数的相位频谱中的n可取正整数，也可取负整数。注意：要指出的是：在周期信号的复指数形式的傅里叶级数展开式中出现了负频率，在实际的信号中并不存在负频率，负频率的出现完全是引用欧拉公式运算的结果。在信号的理论分析中需要进行大量的数学运算，用复指数函数进行数学运算比三角函数要简单方便得多，因而在信号的理论分析中，一开始就引入了复指数。实践表明，在信号分析中引用复指数进行数学运算所得出的基本理论都是正确的。因此，在信号分析中引用复指数函数是必要且可行的，并取得了巨大的成功。

复指数形式的傅里叶级数的引入，为非周期信号的频谱分析——傅里叶变换的引入打下了基础。可以认为，复指数形式的傅里叶级数是一种过渡性的理论。信号分析的基本理论是三角函数形式的傅里叶级数和傅里叶变换。

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