微分方程定性理论_张芷芬等著_9787030059918

本书是作者在常微分方程定性理论的多年教学和科研工作的基础上写成的，着重介绍平面定性理论的主要内容和方法，重点是：平面奇点，极限环的存在，唯一性及个数，无穷远奇点，二维周期系统的调和解，环面上的常微系统，二维流行上的结构稳定性。本书各章均附有习题

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　　本书是根据20世纪60年代以来我们在北京大学数学系开设的常微分方程定性理论课所用的讲义编写成的，它可作为综合性大学、师范院校、工科大学有关专业的高年级大学生和研究生的专门化课程的教材。

　　由常微分方程来直接研究和判断解的性质，这是常微分方程定性理论的基本思想。这种思想在基础课中已经有过。Sturm振动定理就是一例，定性理论在常微分方程的研究中往往有其独到的功能，当前由于电子计算机的出现，给定性理论研究提供了有力的工具，同时定性理论分析往往给数字计算提供了理论依据，常微分方程定性理论从H.Poincare发表的奠基性工作“微分方程所定义的积分曲线”起，一百年来得到了蓬勃的发展，它已成为从事许多学科和尖端技术（包括自动控制理论，航天技术，生物科学，经济学等）研究的不可缺少的数学工具，并且定性的思想和技巧已逐渐渗透到其他数学分支，例如偏微分方程等。

　　在二维系统特别是平面系统方面，定性理论的发展比较完整。本书基本上是根据上述H.Poincare的名著中所涉及到的几个问题，对平面或二维系统的有关成果力图作一较为完整的介绍。

　　本书第一章§1，§2讲的是常微分方程解的存在性、唯一性、解对初值的连续依赖性等问题，它是全书的基础，鉴于当前动力系统的符号和概念被广泛使用，在§3中我们介绍了拓扑动力系统一些最基础的知识，以及平面动力系统的主要结果。但这一部分最基本的事实是Poincare-Bendixson环域定理，讲授时可将这部分移到后面，也可适当精简，只要能证明环域定理就可以了。第二章讲奇点，基本问题是：在什么条件下原方程及其相应的线性方程在奇点附近有相同的拓扑结构或定性结构，以及在一些临界情形下奇点的性质。对平面系统来说，这个问题解决得较为彻底。第三章讲平面奇点指数，其中§3是奇点指数的有理计算，第四章论述极限环，特别是极限环的存在性、唯一性、个数、二次系统的极限环个数等方面，力图反映当前国内外的最新成果。第五章讨论无穷远奇点，为了研究系统的积分曲线的全局结构，往往必须研究系统的无穷远奇点。第六章讨论周期微分方程的调和解，它是属于非线性振动理论的基础知识。

　　前六章是本书的基本内容。如果是一学期的课程，则可在前六章中选取一些内容。如果是一年的课程，则第七章环面上的常微系统和第八章结构稳定性理论都是很重要的部分。

　　为了便于学生自学以及启发学生对此理论的兴趣，我们尽量介绍定性理论中最典型和最常用的方法和技巧，同时也尽量介绍有关内容的当前最新成果，此外为了便于读者的学习，我们在书中还列举了一些例子，每节后面都配有习题。

　　书中打符号“*”的章节乃是进一步的要求，初学时可略过，

　　本书第一章到第五章是张芷芬撰写或修改定稿的，其中第三章是张芷芬在高维新所写初稿基础上编写成的；第四章§6和第五章§3是索光俭提供初稿，由张芷芬改写成的。第六章是丁同仁撰写的，第一章§1，§2和第七章是黄文灶编写的，第八章是董镇喜撰写的。

　　余澍祥，高维新，何启敏，高素志，陈平尚，曾宪武，王裕民，李承治，丁大正，王铎，丁伟岳，王鹏远等还帮助和审查过本书的某些章节。曾试用过北大所编定性理论讲义的黄启宇、王克、马知恩、蔡燧林、徐世龙，都长青，俞伯华，马遵路等和参加过北大定性理论讨论班的人员，都对本书提出过很多宝贵意见，本书在写作过程中得到了廖山涛教授的热情关怀，他还对第五章及第八章的有关内容提出过宝贵意见，叶彦谦教授在审查本书过程中从文字到内容提出了很多中肯的意见和有益的建议。在此对他们一并致以谢意。

　　限于我们的知识水平，书中难免有错误及不妥之处，请读者批评指正。

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