本书由三个单元构成，按照问题驱动式结构编写。*单元为工程计算必备的数学基础知识，特别增加了现代科学计算必需的变分方法；第二单元为常用统计方法，主要包括参数估计与假设检验、回归分析与方差分析；第三单元简要介绍数学反演的基础理论和方法。通过学习本书，能够为工程中的正反演问题打下数学基础。
本书主要包括科学计算的基本理论和方法、统计分析理论和方法、数学模型参数反演的理论和方法等3个主要部分，每个部分以数学建模的为切入点，通过建模-求解-分析的流程组织教材内容，实现全国工科研究生数学课程教学指导小组多次强调的：工科研究生数学教学应重概念、重方法、重应用、重能力的数学能力培养目标。
各类工程问题的分析和计算，除了需要具备扎实的本专业理论知识和实践能力外，还需要掌握专业所需的多种数学理论和方法基础，二者互相促进、融合，共同推动数学各学科专业和各工程学科专业的发展和进步，乃至孕育出新的数学研究方向、新的工程问题研究方向。工程问题多种多样，需要的数学工具自然也是多种多样的，特别是随着计算机和网络软硬件理论及技术的日新月异，对各类工程问题的研究而言，机遇与挑战并存。
从2009年我国实行全日制专业学位硕士研究生培养改革以来，原有的学术型硕士研究生的培养思路与教材已不能适应专业型硕士研究生的培养目标与定位：高层次应用型专门人才，突出该类型研究生的专业性，以具备解决实际问题的能力培养为能力目标，与学术型硕士研究生处于同一层次。因此，如何开展面向全日制专业学位硕士研究生（以下简称专硕）的数学教育自然是一个亟需解决的关键问题。其中，面向专硕的数学教材建设是关键环节之一。
工程问题的范围很广，我们不可能在有限的篇幅内包罗万象。作为面向专硕的数学教材，应该是基础性的。通过编者及团队近几年的教学实践和改革以及与相关院校的交流，我们逐步确立了以科学计算、常用统计方法和反演方法为主要授课内容，这三个方面的内容能够涵盖大多数的专硕专业培养目标，能够为学生进行专业应用奠定良好的数学基础及知识面。基于此，我们在教学讲义的基础上编著了面向专硕的《工程数学》教材。
本书主要由三个单元构成，特点是问题驱动。第一单元为工程计算必备的数学基础知识，与数值分析或计算方法部分内容重合，我们增加了现代科学计算必需的变分方法；第二单元为常用统计方法，主要包括参数估计与假设检验、回归分析与方差分析；第三单元简要介绍数学反演的基础理论和方法。通过学习本书，能够为工程中的正反演问题打下数学基础。本书授课时间约需64学时。
本书由崔学慧、明辉、范申、彭晓明编著。具体编写分工如下：第1、2、4～8章由崔学慧编著，第3章由彭晓明编著，第9、10章由明辉编著，第11章由范申编著，全书由崔学慧统稿。
本书适合作为全日制专业型硕士研究生计算类教材和普通高等院校本科高年级的计算类数学教材，作为学术型硕士研究生的数学教材也有一定的适用性，还可作为广大工程技术人员的参考书。
编者及团队衷心感谢对本书编写给予热忱帮助的中国石油大学（北京）研究生院的相关同志。成稿过程中得到中国石油大学（北京）理学院数学系刘建军教授、高阳副教授的热情帮助，构思过程中得到了吉林省教学名师、长春工业大学王新民教授的指导，在此致以诚挚谢意。
由于我们的学识有限，书中疏漏和不足之处不可避免，敬请广大读者批评指正。
编著者
2017年10月
崔学慧，男，满族，1975年出生，辽宁人，博士，副教授，硕士研究生导师。2006年进入中国石油大学（北京）工作至今。现任理学院教学指导委员会委员，发表学术论文15篇，出版教材2部。主持横向课题10项，参与国家自然科学基金2项，主持纵向课题1项，主持全国工程数学教学指导委员会课题1项。明辉，中国石油大学，讲师，专业方向概率统计。范申，中国石油大学，讲师，专业方向基础数学。彭晓明，中国石油大学，讲师，专业方向应用数学。
第1章数学基础知识1
1.1线性空间与赋范线性空间1
1.1.1线性空间（1）
1.1.2赋范线性空间（3）
1.2内积空间7
1.2.1内积及内积空间的定义（7）
1.2.2内积范数（9）
1.2.3内积与正交投影及
投影向量（10）
1.2.4GramSchmidt正交化方法
（11）
1.2.5正交多项式（13）
1.2.6算子的概念（18）
1.3常用矩阵变换19
1.3.1Gauss变换阵与矩阵的
三角分解（19）
1.3.2Householder变换阵与矩阵的正交分解（22）
1.3.3Givens变换阵与正交分解（26）
1.3.4奇异值（SVD）分解（28）
1.3.5计算实例（29）
1.4算法稳定性与有效数字35
1.4.1算法的稳定性（35）
1.4.2误差与有效数字（36）
习题137
第2章插值法38
2.1Lagrange插值法与
Newton插值法39
2.1.1多项式插值的存在唯一性（39）
2.1.2Lagrange插值法（40）
2.1.3Lagrange插值多项式的误差（42）
2.1.4Newton（牛顿）插值法（43）
2.1.5Newton插值多项式的误差（45）
2.1.6导数值作为插值条件的多项式插值（Hermite插值）（46）
2.2分段低次插值49
2.2.1高次插值的Runge现象（49）
2.2.2分段低次插值（50）
2.2.3三次样条插值（52）
2.2.4实例计算（56）
2.3二元函数分片插值法59
2.3.1问题的提出（59）
2.3.2矩形域上的分片插值问题（60）
习题263
第3章小二乘原理及其应用65
3.1小二乘原理65
3.2小二乘解的计算方法67
3.2.1内积空间中小二乘解的计算方法（67）
3.2.2计算实例（73）
习题374
第4章数值积分法75
4.1等距节点的牛顿柯特斯公式76
4.1.1插值型求积公式（76）
4.1.2牛顿柯特斯（NewtonCotes）
求积公式（77）
4.1.3插值型求积公式的
代数精度（78）
4.1.4NewtonCotes公式的
截断误差（81）
4.1.5NewtonCotes公式的数值
稳定性分析（83）
4.2复化求积法83
4.2.1复化求积公式（83）
4.2.2变步长复化求积公式（85）
4.3Gauss型求积公式89
4.3.1构造Gauss型求积公式的
基本原理（89）
4.3.2构造Gauss型求积公式的
具体方法（93）
4.3.3Gauss型求积公式的
稳定性分析（97）
4.3.4实例应用（98）
习题499
目录|
|工程数学
第5章线性代数方程组的数值
解法101
5.1解线性代数方程组的
直接解法101
5.1.1Gauss消元法及其矩阵表示（102）
5.1.2正交分解法及其矩阵表示（105）
5.2解线性代数方程组的误差
分析106
5.3解线性代数方程组的
迭代解法109
5.3.1构造迭代格式的基本思想和
收敛性（109）
5.3.2三种经典的迭代格式（111）
5.4解线性代数方程组的
变分方法115
5.4.1对称正定线性代数方程组解的
变分原理（116）
5.4.2求解极小值点的一般方法（118）
5.4.3速下降法（119）
5.4.4共轭梯度法（120）
5.4.5计算实例（123）
习题5125
第6章非线性方程的数值解法127
6.1二分法128
6.1.1方程根的概念（128）
6.1.2二分法（129）
6.2迭代法及其收敛性130
6.2.1迭代格式的构造及
收敛条件（130）
6.2.2迭代格式的局部收敛性（132）
6.3Newton迭代与割线法133
6.3.1Newton迭代格式（133）
6.3.2Newton迭代法的局部
收敛性（134）
6.3.3弦截法（134）
6.3.4计算实例（135）
6.4解非线性方程组的迭代法139
6.4.1不动点迭代法（139）
6.4.2NewtonRaphson迭代法（140）
习题6141
第7章常微分方程数值解法初步143
7.1求解初值问题数值方法的
基本原理144
7.1.1初值问题的数值解（144）
7.1.2构造初值问题数值方法的
基本途径（145）
7.1.3梯形公式与预估校正思想（146）
7.1.4单步法的误差分析和
稳定性（147）
7.2高精度的单步法152
7.2.1基本原理（152）
7.2.2二阶RungeKutta方法
的推导（153）
7.2.3经典的四阶RK方法（154）
7.3线性多步法156
7.3.1基于数值积分的
Adams公式（157）
7.3.2预估校正算法（159）
7.4一阶微分方程组的解法162
7.5边值问题的打靶法和差分法164
7.5.1打靶法（Shooting Method）（164）
7.5.2差分法（Difference Method）（165）
7.6计算实例167
习题7168
第8
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