本书是数学类专业考研复习指导书。本书通过精选的名校真题，讲解典型问题的方法和技巧。全书共分九章，包括多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵若当标准型、欧几里德空间等。本书适合作为自学材料，也可作为相关课程的培训教材。
高等代数是大学数学专业的重要基础课, 是各高校数学类专业研究生考试的必考科目.该门课程有概念抽象、方法繁多、各模块知识联系紧密、系统性强的特点, 加之题目浩如烟海, 处理问题的方法纷繁多变, 因而许多学生复习时感觉存在一定困难. 为了使学生加深对高等代数内容的理解, 帮助他们掌握处理问题的方法与技巧, 进而提高分析与解决综合问题的能力, 同时结合作者讲授“高等代数选讲” 课程的经验, 编写了这本考研辅导书.全书按北京大学数学力学系几何与代数教研室编写的《高等代数》(第三版) 自然章顺序编排(新增的“双线性函数与辛空间” 一章暂未涉及), 共分九章, 每章讨论若干问题.讨论中包括知识归纳和对基本概念、基本理论、基本方法的分析与总结, 并且对学生容易弄错的概念和带有共性的处理问题方法等进行了一些提示.书中所配例题主要选自近年来国内一些知名高校硕士研究生入学考试的典型试题, 其中也包括几年来全国大学生数学竞赛中出现的部分题目, 对题目的设计者表示感谢. 书中在一些问题的讨论中给出多种方法, 旨在使读者对所学知识融会贯通, 培养他们统领全局、灵活解决实际问题的本领.本书主要为数学类专业学生考研复习使用, 也可作为高等学校数学类专业开设高等代数选讲课程的教材, 同时也是教师讲授数学专业高等代数或理工科线性代数课程的参考书.由于编者水平有限, 加之时间仓促, 不当之处在所难免, 希望读者批评指正, 在此表示感谢.刘洪星
前 言
第一章 多项式 1
一、多项式的概念、多项式相等 1
二、多项式的带余除法、整除 2
三、关于多项式的最大公因式、互素及最小公倍式 7
四、因式分解问题 13
五、重因式 13
六、多项式函数 14
七、复数域、实数域、有理数域上多项式的因式分解 18
八、多元多项式与对称多项式 25
练习一 29
第二章 行列式 31
一、定义与性质 31
二、关于n 阶行列式的计算 32
三、抽象型行列式的计算 46
四、行列式按行(列) 展开定理及代数余子式的应用 52
练习二 58
第三章 线性方程组 60
一、线性方程组的概念 60
二、线性方程组的求解方法 60
三、向量组的线性相关性 66
四、向量组的极大无关组与秩 67
五、矩阵的秩 73
六、线性方程组解的结构 75
七、关于已知线性方程组的解, 寻找原方程组问题 84
八、关于线性方程组公共解问题 87
练习三 91
第四章 矩阵 93
一、矩阵及其运算 93
二、关于矩阵A = O 的证明 97
三、伴随矩阵、逆矩阵 98
四、初等变换与初等矩阵 102
五、有关矩阵秩的证明 103
六、矩阵分块 110
练习四 121
第五章 二次型 123
一、二次型及其矩阵表示、二次型的秩 123
二、二次型的标准形 123
三、复(实) 二次型的规范形 124
四、正定二次型、正定矩阵 131
练习五 148
第六章 线性空间 150
一、基本概念 150
二、线性空间的基、维数和坐标 150
三、基变换与坐标变换 150
四、子空间及其交与和 156
五、子空间的直和 163
六、线性空间的同构 168
练习六 171
第七章 线性变换 173
一、线性映射与线性变换的定义及性质 173
二、线性变换的运算 173
三、线性变换的矩阵 174
四、特征值与特征向量、矩阵的相似 181
五、对角阵 192
六、线性变换的值域与核 205
七、不变子空间 210
练习七 215
第八章 λ—矩阵、若尔当标准形 218
一、λ—矩阵的秩与可逆 218
二、λ—矩阵在初等变换下的标准形 218
三、行列式因子、不变因子、初等因子 219
四、矩阵相似的条件 219
五、关于若尔当标准形 219
练习八 240
目 录 Ⅴ
第九章 欧几里得空间 242
一、内积与欧几里得空间 242
二、标准正交基 247
三、子空间的正交、正交补 253
四、正交变换与对称变换 259
五、向量到子空间的距离 268
六、酉空间 269
练习九 273
参考文献 275
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