本书根据作者近年来多次在南开大学讲授黎曼几何的讲稿写成，可以作为黎曼几何的入门教材，主要介绍黎曼几何的基本概念与基本方法。全书共十四讲，依次介绍黎曼流形、黎曼联络、测地线、曲率等基本概念;其间介绍弧长的变分公式以及Jacobi场等基本方法，并讨论黎曼流形上的几何变换、微分算子、完备性、比较定理等;最后，作为黎曼流形的重要实例，介绍了齐性黎曼流形。每一讲都配有适量的例子和重要的应用，以及少量习题，以加深对相关概念和方法的理解。本书强调几何背景，着重介绍几何直观比较明确的一些定理，定理的证明也以经典微分几何方法为主。
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目录
前言
第一讲 黎曼度量 1
1.1 黎曼度量的定义 1
1.2 黎曼流形的例子 2
1.3 黎曼流形上的变换 4
1.4 附注 6
1.5 习题 7
第二讲 黎曼联络 9
2.1 仿射联络 9
2.2 Levi-Civita联络 11
2.3 联络形式 13
2.4 附注 14
2.5 习题 15
第三讲 黎曼流形上的微分算子 16
3.1 梯度和散度 16
3.2 Laplace算子和Hessian算子 17
3.3 Hodge理论 18
3.4 附注 22
3.5 习题 22
第四讲 平行移动和测地线 23
4.1 平行移动 23
4.2 测地线 25
4.3 射影变换 27
4.4 附注 28
4.5 习题 29
第五讲 弧长的第一变分 30
5.1 指数映射 30
5.2 曲线的变分 31
5.3 两个应用 33
5.4 附注 35
5.5 习题 35
第六讲 完备性 37
6.1 距离函数 37
6.2 Hopf-Rinow定理 40
6.3 附注 43
6.4 习题 43
第七讲 曲率算子和曲率形式 44
7.1 曲率算子 44
7.2 曲率形式 48
7.3 附注 52
7.4 习题 52
第八讲 截面曲率 54
8.1 截面曲率的定义 54
8.2 常曲率空间 57
8.3 附注 60
8.4 习题 61
第九讲 弧长的第二变分 62
9.1 第二变分公式 62
9.2 Weinstein定理和Synge定理 64
9.3 连通性 65
9.4 附注 66
9.5 习题 67
第十讲 Ricci曲率和数量曲率 68
10.1 Ricci曲率 68
10.2 数量曲率 73
10.3 附注 73
10.4 习题 74
第十一讲 测地变分和Jacobi场 75
11.1 测地变分 75
11.2 共轭点 79
11.3 割迹 81
11.4 附注 82
11.5 习题 82
第十二讲 体积比较定理 83
12.1 相对体积比较定理 83
12.2 体积比较定理的应用 86
12.3 附注 89
12.4 习题 89
第十三讲 仿射变换和射影对应 91
13.1 仿射变换 91
13.2 射影等价性 93
13.3 附注 96
13.4 习题 97
第十四讲 齐性黎曼流形 98
14.1 齐性空间 98
14.2 不变黎曼度量 100
14.3 对称空间 103
14.4 附注 105
14.5 习题 105
参考文献 107
索引 110
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