《浙江省专升本考试考前押密试卷·高等数学》共包含10套考前押密试卷, 每一套卷每一题均由中公教育浙江专升本考试研究院经过精心打磨研发而成。8套试卷严格按照最新真题及考试要求全新研发, 题型、题量及试题难易程度均与历年真题保持一致。同时试卷严格按照真题的版式编排, 让考生提前体验考场考试的感觉, 以达到具备真正进入考场时能够迅速进入考试状态的能力。8套试卷在深入研究历年真题的基础上, 总结历年真题中的高频考点, 并根据重要知识点出题, 突出命题重点, 避免浪费考生宝贵的复习时间, 以使考生在短期内尽快温习以及回顾。
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浙江省普通高等教育专升本考试
高等数学考前押密试卷（五）考试科目高等数学
考生姓名
考生编号
报考单位注
意
事
项1.答题前，考生须按规定将考生姓名、考生编号和报考单位填写到试卷规定的位置上，并在答题卡上填（涂）对应的信息。
2.所有答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，超出各题答题区域的答案无效。在草稿纸、试题上作答无效。
3.考试结束后，将试题和答题卡一并交回。
高等数学考前押密试卷（五）第页（共12页）浙江省普通高等教育专升本考试
高等数学考前押密试卷（五）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设函数f(x)=x2sin1x5,x>0,e1x,x<0,则x=0是f(x)的（）
A. 可去间断点B. 跳跃间断点
C. 连续点D. 第二类间断点
2.过曲线y=arctanx+ex上的点(0,1)处的法线方程为（）
A. 2x-y+1=0B. x-2y+2=0
C. 2x-y-1=0D. x+2y-2=0
3.下列等式正确的是（）
A. d∫df(x)=f′(x)+C
B. d∫df(x)=f(x)+C
C. ∫f′(x)dx=f(x)+C
D. ddx∫df(x)=f(x)
4.下列级数或广义积分发散的是（）
A. ∑∞n=1(-1)n+1n+3B. ∑∞n=1sin2n
C. ∫3119-x2dxD. ∫+∞11(1+x2)2dx
5.微分方程4y″-12y′+9y=(3x2+2)e3x的特解y可设为（）
A. x2e3x(ax+b)B. xe3x(ax2+bx+c)
C. e3x(ax2+bx+c)D. x2e3x(ax2+bx+c)
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）6.设函数f(x)的定义域为［-1,1)，则函数ef(1-x)的定义域为。
7.设f(x)连续，f(0)=1，且当x→0时，∫x-sinx0f(t)dt与16ln(1+xa)为等价无穷小，则a=。
8.设f(x)在x=1处可导，且f′(1)=1，则limx→1f(x)-f(1)x3-1=。
9.设函数y=y(x)由参数方程x=t+et，y=sint确定，则d2ydx2t=0=。
10.函数y=xlnx的单调递增区间是。
11.设连续函数f(x)满足f(x)=x2-∫20f(x)dx，则∫20f(x)dx=。
12.设Ik=∫kπ0ex2sinxdx(k=1,2,3)，则I1,I2,I3的大小关系为。
13.微分方程y′-ytanx=secx的通解为。
14.已知点A(4,-1,2)，B(1,2,-2)，C(2,0,1)，则△ABC的面积为。
15.幂级数∑∞n=013n+1(x+1)n的收敛区间为。
三、计算题（本大题共8小题，其中16～19小题每小题7分，20～23小题每小题8分，共60分。计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分）16.求极限limx→∞3x2+55x+3sin2x。
17.设函数y=arctan2x1+x2，求dy。
18.求不定积分I=∫x21+x2arctanxdx。
19.求由抛物线2y2=x与直线x-2y=4所围成平面图形的面积。
20.设当x>0时， f(x)可导，且满足xf(x)=x+∫x1f(t)dt，求f(x)。
21.设f(x)=aex+1,x<0,bx+2,x≥0在x=0处可导，求常数a，b的值。
22.已知直线l:x+2y+3z+1=0,x-y-z+5=0,若平面π过点(2,1，-5)，且与直线l垂直，求平面π的方程。
23.求幂级数∑∞n=1(n+1)xn的和函数，并求级数∑∞n=1n+12n的和。
四、综合题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）24.已知F(x)=∫x0(18t53-10t2)dt是函数f(x)的一个原函数，求曲线y=f(x)的凹凸区间与拐点。
25.假设某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品，两个市场的销售量分别是Q1=18-x2，Q2=12-x，其中x表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨），该企业生产这种产品的总成本函数是C=2(Q1+Q2)+5，试确定x的值，使得企业获得大利润，并求大利润。
26.设函数f(x)在［0,3］上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且2f(0)=∫20f(x)dx=f(2)+f(3)。证明：
（1）存在η1∈［2,3］，使f(η1)=f(0)；
（2）存在η2∈［0,2］，使f(η2)=f(0)；
（3）存在ξ∈(0,3)，使f″(ξ)=0。
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高等数学考前押密试卷（五）参考答案及解析第Ⅰ卷一、选择题
1.【答案】A
【解析】由题意得,
limx→0+f(x)=limx→0+x2sin1x5=0，limx→0-f(x)=limx→0-e1x=0。
因为limx→0+f(x)=limx→0-f(x)=0，且函数f(x)在x=0处无定义，所以x=0为函数f(x)的可去间断点。
2.【答案】D
【解析】因为y′=11+x2+ex，则y′（0）=2，所以曲线上的点(0,1)处的法线的斜率为k=-12，则法线方程为y-1=-12x，即x+2y-2=0。
3.【答案】C
【解析】因为d∫df(x)=d∫f′(x)dx=d［f(x)+C］=f′(x)dx，故A、B两项错误。
C项，因为积分与求导互为逆运算，则∫f′(x)dx=f(x)+C，故C项正确。
D项，因为ddx∫df(x)=ddx∫f′(x)dx=f′(x)，故D项错误。
4.【答案】B
【解析】A项，∑∞n=1(-1)n+1n+3=∑∞n=1(-1)n+1un，由莱布尼茨判别法可知，当n=1,2,…,1n+3>1(n+1)+3,即un>un+1；且limn→∞un=limn→∞1n+3=0，则级数收敛。
B项，因为limn→∞sin2n不存在，所以由级数收敛的必要条件可知，级数发散。
C项，令x=3sint，则dx=3costdt，故
∫3119-x2dx=∫π2arcsin133cost3costdt=π2-arcsin13，
因此广义积分收敛。
D项，令x=tant，则dx=sec2tdt，故
∫+∞11(1+x2)2dx=∫π2π4sec2tsec4tdt=∫π2π4cos2tdt
=∫π2π41+cos2t2dt=t2+14sin2tπ2π4=π8-14，
因此广义积分收敛。
5.【答案】C
【解析】微分方程的特征方程为4r2-12r+9=0，解得其特征根为r1=r2=32。因为f(x)=(3x2+2)e3x，且3不是特征方程的根，所以微分方程的特解可设为y=e3x(ax2+bx+c)。
第Ⅱ卷
二、填空题
6.【答案】(0,2］
【解析】因为f(x)的定义域为［-1,1)，则在函数ef(1-x)中(1-x)∈［-1,1)，即x∈(0,2］。
7.【答案】3
【解析】limx→0∫x-sinx0f(t)dt16ln(1+xa)=limx→0∫x-sinx0f(t)dt16xa=limx→0(1-cosx)f(x-sinx)16axa-1
=limx→012x2f(x-sinx)16axa-1=3alimx→0f(x-sinx)xa-3=1，
所以a=3。
8.【答案】13
【解析】limx→1f(x)-f(1)x3-1=limx→1f(x)-f(1)(x-1)(x2+x+1)
=13limx→1f(x)-f(1)x-1=13f′(1)=13。
9.【答案】-18
【解析】dydx=y′(t)x′(t)=cost1+et，d2ydx2=ddty′(t)x′(t)·1x′(t)=-sint·(1+et)-etcost(1+et)3，则
d2ydx2t=0=-18。
10.【答案】(e,+∞)
【解析】y=xlnx的定义域为(0,1)∪(1,+∞)。y′=lnx-1ln2x，令y′>0，则x>e，即y=xlnx的单调递增区间为(e,+∞)。
11.【答案】89
【解析】设I=∫20f(x)dx，对方程f（x）=x2-∫20f（x）dx两边同时取［0,2］上的定积分，得I=∫20x2dx-2I，则
I=13∫20x2dx=13·13x320=89，
即∫20f(x)dx=89。
12.【答案】I2 【解析】I1=∫π0ex2sinxdx，因为当x∈(0,π)时，ex2sinx>0，所以I1>0。
由题意得I2=I1+∫2ππex2sinxdx，因为当x∈(π,2π)时，ex2sinx<0，所以∫2ππex2sinxdx<0，故I2 由题意得I3=I1+∫3ππex2sinxdx，其中，
∫3ππex2sinxdx=∫2ππex2sinxdx+∫3π2πex2sinxdx
=∫2ππex2sinxdx+∫2ππe(x+π)2sin(x+π)dx
=∫2ππ［ex2-e(x+π)2］sinxdx，
因为当x∈(π,2π)时，［ex2-e(x+π)2］sinx>0，所以
∫2ππ［ex2-e(x+π)2］sinxdx>0，
即I3>I1。
综上I2 13.【答案】y=(x+C)secx
【解析】y=e-∫-tanxdx∫secxe∫-tanxdxdx+C=e-∫1cosxdcosx∫secx·e∫1cosxdcosxdx+C
=1cosx∫secx·cosxdx+C=(x+C)secx。
14.【答案】352
【解析】BA={3,-3,4},BC={1,-2,3}，S△ABC=12|BA×BC|，而
BA×BC=ijk3-341-23={-1,-5,-3}，
故|BA×BC|=(-1)2+(-5)2+(-3)2=35，
所以S△ABC=352。
15.【答案】(-4,2)
【解析】limn→∞(x+1)n+13n+13n+2(x+1)n=|x+1|3<1，即|x+1|<3，则x∈(-4,2)，所以幂级数的收敛区间为（-4，2）。
三、计算题
16.【解析】limx→∞3x2+55x+3sin2x=limx→∞3x2+55x+3·2x=limx→∞6x2+105x2+3x=limx→∞6+10x25+3x=65。
17.【解析】y′=11+2x1+x22·2(1+x2)-4x2(1+x2)2
=11+4x2(1+x2)2·2(1+x2)-4x2(1+x2)2
=2-2x2(1+x2)2+4x2=2-2x2x4+6x2+1，
故dy=2-2x2x4+6x2+1dx。
18.【解析】I=∫x21+x2arctanxdx=∫1-11+x2arctanxdx
=∫arctanxdx-∫arctanxd（arctanx）
=xarctanx-∫x1+x2dx-12arctan2x
=xarctanx-12ln(1+x2)-12arctan2x+C。
19.【解析】x-2y=4，x=2y2x=8，y=2或x=2，y=-1，所以抛物线与直线的交点坐标分别为（8,2）和（2,-1），如图所示，则所围成的平面图形的面积为
S=∫2-1(2y+4-2y2)dy=9。
20.【解析】等式两边同时对x求导得f(x)+xf′(x)=1+f(x)，所以f′(x)=1x，则f(x)=lnx+C。因为当x=1时，f(1)=1，所以C=1，故f(x)=lnx+1。
21.【解析】因为f(x)在x=0处可导，则在x=0处必连续，所以limx→0-f(x)=limx→0+f(x)=f(0)，解得a=1。
因为f(x)在x=0处可导，所以f′-(0)=f′+(0)。
f′-(0)=limx→0-f(x)-f(0)x-0=limx→0-ex-1x=1，
f′+(0)=limx→0+f(x)-f(0)x-0=limx→0+bxx=b，
故b=1。
综上a=b=1。
22.【解析】因为直线l的方向向量为
s=ijk1231-1-1={1,4，-3}，
且平面过点（2,1,-5），所以平面方程为
(x-2)+4(y-1)-3(z+5)=0，
即x+4y-3z=21。
23.【解析】令S(x)=∑∞n=1(n+1)xn，由题意易知其收敛域为(-1,1)，则
∫x0S(t)dt=∫x0∑∞n=1(n+1)tndt=∑∞n=1∫x0(n+1)tndt=∑∞n=1xn+1=x21-x，
从而有S(x)=∫x0S(t)dt′=x21-x′=2x-x2(1-x)2，x∈(-1,1)。
当x=12时，∑∞n=1n+12n=S12=3。
四、综合题
24.【解析】由题意可知f(x)=F′(x)=18x53-10x2，则f′(x)=30x23-20x，f″(x)=20x-13-20。
令f″(x)=0，解得x=1，且当x=0时，二阶导数不存在。
x(-∞,0)0(0,1)1(1,+∞)f″(x)-不存在+0-f(x)凸函数拐点为(0,0）凹函数拐点为(1,8)凸函数通过列表分析得，函数的凸区间为(-∞,0)和(1,+∞)，函数的凹区间为(0,1)，函数的拐点为(0,0)和(1,8)。
25.【解析】由已知条件得利润函数为
L=(Q1+Q2)x-C=(Q1+Q2)x-2(Q1+Q2)-5
=18-x2+12-x(x-2)-5=-32x2+24x-47。
求导得L′=-3x+24，令L′=0得x=8。根据实际情况，L存在大值，且驻点唯一，则驻点即大值点，Lmax=-32×82+24×8-47=49，故x=8时，企业获得大利润，且大利润为49万
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