《进位制与数学游戏》在较系统、全面论述进位制知识的基础上，分别介绍了涂色游 戏、猜测游戏、演变游戏、火柴游戏、配对游戏、戥秤称珠游戏、天平称珠游戏以及砝码.链条.链环等游戏的玩法及进位制知识在其中的应 用原理。《进位制与数学游戏》集趣味性、知识性与科学性于一体，奇妙严密，通而不 俗，充分展示数学思维之美妙与深刻。
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《进位制与数学游戏》读者主要为数学研究人员、数学专业的大学生、爱好数学的中学生以及对数学感兴趣的大众读者。
01进位制的知识
1.1形形色色的进位制
在日常生活和生产劳动中，人们几乎时刻都在跟数打交道，其中接触最多的是自然数。自然数有无穷多个。我们知道，读数要有名称，写数要有记号。对于每一个自然数，如果都用一个独立的名称和记号来表示它，那是办不到的，也是不便记忆和应用的。那么，该怎么办呢？
人类经过长期的实践，创造了用少量的名称和记号来表示任何一个自然数的记数办法。这个记数办法就是根据位值原则，用一定数量的数字来表示众多的自然数。所谓位值原则，就是把数字排成横列来表示一个自然数时，每一个数字除了表示本身的值以外，还有一个所在的位置赋予的值（即位置值）。位值原则又叫做数字和数位相结合的原则。这样，即使是同一个数字，由于它在所表示的自然数里有着不同的位置，也就表示着不同的数值。
不要小看位值原则，以为它平常得很。在历史上，位值原则是杰出而重要的思想，是人类文明的重要里程碑之一，也是数学史上无与伦比的一个光辉成就。当时发明这样一种方法的困难之大，正如数学家拉普拉斯（Ｌaplace，1749~1827）所指出的那样，可从如下事实中推断出来：甚至像阿基米德（Archimedes，公元前287~前212）和阿波罗尼（Apollonius，约公元前260~前170）这两位古代最伟大的天才也未能注意到它。现在看来，罗马数字未能采用位值原则也说明了这一论断。位值原则是千百年人类智慧的结晶，它给予记数的简化与计算的便当，为人们提供了极为有利的条件。对此，马克思曾经高度地评价过位值原则的出现，称赞它是“最美妙的数学发明”。
由于人类经常用双手来接触事物，也就经常用双手的10个指头来进行计数。成语“屈指可数”正说明了这一点。一边数，一边扳手指；10个手指扳满了，就在地上放一块石头（或者别的东西），用来代表“十”；然后再数，满了10个，再放一块石头；积满了10块石头，再换一个其他的东西，用来代表“一百” 这样，从计数的实践中就逐渐地形成了记数的办法：用10个数字（数码）——0，1，2，3，4，5，6，7，8，9——按照位值原则来表示任意一个自然数。这个办法——计数和记数的制度，称为十进位制，简称十进制。这里，“十”叫做十进制的底数（或进率）。“满十进一”是它的一个特点。这就是说，在每相邻的两个数位之间，10个低级单位便可组成一个高级单位。我们把计数和记数时“满几进一”的制度，统称为数的进位制。十进制是人类用得最经常、最广泛、最熟悉的一种进位制
1920年前后，科学家易勒斯（W.C.Eels）调查了美国亚美利亚各族的307种原始的记数方法中，发现有146种是十进制的。 。在小学数学里开始学习和研究的，也就是这种十进制的数，简称十进数。
但是，人类也用到非十进制。例如，二进制、五进制、八进制、十二进制、十六进制、二十进制、六十进制等。在人类的记数史上，十进制与各种非十进制都显示过身手。即使是现代，也绝不是十进制的一统天下，其他各种非十进制都还在起着各自的作用。
二进制对于理论的研究很有价值。它在电子计算机上有着重要的应用。另外，为了克服用二进制来表示一个数往往书写较长的缺点，有的电子计算机也用到八进制（或十六进制）。
五进制比十进制出现得更早。这是由于在一般情况下伸出一只手比伸出一双手更自然的缘故。五进制曾经普遍使用于美洲大陆、西伯利亚北部与非洲的许多民族。从现在尚在使用的罗马数码每增加五就创立一个新的符号中仍可见到五进制的遗迹。时至今日，玻里尼亚群岛和美拉尼西亚群岛上的居民还在使用五进制。我国的“五行”也可以说是以金、木、水、火、土往复循环的五进制。
十二进制是使用较方便的一种进位制，因为12能够被1，2，3，4，6，12所整除。进行除法运算的时候，十二进制不像十进制那样经常会出现分数的商。世界上许多国家都曾经采用过十二进制。例如，一个钟面有12个小时，一年有12个月以及西方国家有1英尺＝12英寸，1先令＝12便士等。在英语、德语中，1到12的数词，其词根都不相同，而大于12的数词其词根就出现循环重复的现象，从中也可看出采用过十二进制的痕迹。另外，古代罗马人曾经用过十二进制。每12个为一个单位，叫做一打仁（Do，简称打），12打仁叫做1格鲁斯（Gro，简称萝），12格鲁斯叫做1马斯（Mo）。现在，还经常把12作为一“打”来计算物体的件数，并且在商业方面有时也用到“萝”。由于12比10有更多的因数，瑞典国王查理十二世就曾经大力推行过十二进制，而在美国至今仍有一个“美国十二进制协会”公开申明致力于十二进制的推广普及工作。
十六进制，东西方国家都曾经采用过。例如，我国的旧秤，1斤＝16两；在欧洲，1磅＝16盎司，1俄尺＝16俄寸等。
二十进制，它使人们想起人类的赤脚时代，因为对于不穿鞋的部落来说，利用脚趾是很自然的事情。这种进位制曾经被美洲印第安人所普遍采用，并以其用于高度发达的玛雅（Maya）数系中而称著。欧洲一些国家的文字，也留下了使用二十进制的痕迹。例如，法语表示80用单词quatre-vingts（四倍的二十），而90则用单词quatre-vingt-dix（四倍的二十与十）。又如英语three-score and seven years ago（67年以前），原意是“三个二十又七年以前”。
六十进制的使用起源于古巴比伦人（居住在现今的伊拉克）。现在时间以及度量角或弧的单位里，还保留着60秒为1分、60分为1小时，或60分为1度的规定。这就是古巴比伦人留给我们的遗产。
我国“干支”中的“天干”（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）是十进制，“地支”（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）则是十二进制。将10个“天干”与12个“地支”循环相配形成：甲子、乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、甲戌、乙亥等60组，俗称“六十花甲子”，则是六十进制。我国古代曾用“六十花甲子”、“干支”表示年、月、日和时的次序，周而复始，循环使用。现在农历的纪年上，仍有用到。
另外，还有一季度有3个月、一个月有3旬的三进制，一年有四季、一小时有4刻钟的四进制，一星期有7天的七进制，一天有24小时的二十四进制，一个月有30天的三十进制等。最为古怪的是新西兰采用过十一进制。
一般人出自使用的习惯，可能认为十进制是最好的进位制。其实用什么样的进位制，还要根据生产实践的需要来确定。例如，从天文、历法以及数学上度量角或弧的研究来考虑，用六十进制就比较好，因为60有着较多的因数：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60，用六十进制来算1/2、1/3、1/4、1/5、1/6小时（或度）等于多少分，就比人们用惯了的十进制方便。因此，不同的进位制有着不同的长处和短处，不能笼统地说哪种进位制最好。
显然，不应有一进制。不然的话，满一进一，满一进一 便会陷入无止境的进位之中。这怎么能用来表示一个自然数呢？因此，除了“1”以外，任何正整数k（k≥2）都可以作为进位制的底数。于是就有了形形色色的进位制以及用k进制所表示的数（简称k进数）。
1.2 k进数的表示法
我们知道，十进制使用了10个不同的数字符号，它的底数是10，它的特点是满十进一。这样，10个“一”便构成1个“十”，10个“十”便构成1个“百”，10个“百”便构成1个“千”，10个“千”便构成1个“万” 也就是说，按照位值原则，从右边起，第一位上的一个单位是“一”，第二位上的一个单位是“一”的10倍，第三位上的一个单位是“一”的102倍，第四位上的一个单位是“一”的103 倍，第五位上的一个单位是“一”的104倍 因此，底数10的各次幂恰好是十进制的各个计数单位
第一位上的计数单位“一”，是底数10的0次幂。这种情况，对k进制也适用，因为任一正整数k的0次幂都等于1。
例如，53862就是
5
第五位
104位(万)3
第四位
103位(千)
8
第三位
102位(百)
6
第二位
101位(十)
2
第一位
100位(个)
这样，任何一个十进数都可以写成各个数位上的数与它所在的计数单位（10的幂）之积的和（一般采用从左到右的降幂排列）的形式。例如，
53862＝5×104＋3×103＋8×102＋6×10＋2
我们掌握了十进数的表示法，就不难理解二进数的表示法了。类似地，二进制使用了两个不同的数字符号：0，1。它的底数是2，它的特点是满二进一。
为了区别起见，除了常用的十进数外，对于其他进位制的数，常在数的右下角注明进位制的底数。例如，二进数1011就写成1011(2)，读为二进数一、○、一、一。在不发生混淆的情况下，有时也可以把右下角的底数省去不写。
与十进制相类似，二进制也是按照位值原则来记数的。从二进数的右边起，第一位上的“1”是“一”，第二位上的“1”是“一”的2倍，第三位上的“1”是“一”的22倍，第四位上的“1”是“一”的23倍 底数2的各（自然数）次幂也恰好是二进制的各个计数单位。
例如，1011（2）就是
1
第四位
23位0
第三位
22位1
第二位
21位
1
第一位
20位
这样，任何一个二进数都可以写成各个数位上的数与它所在的计数单位（2的幂）之积的和（一般采用从左到右的降幂排列）的形式。例如，
1011（2）＝1×23＋1×2 ＋1
一般地，k进制（k为正整数，且k≥2）将使用k个不同的数字符号：0，1， ，k-1。它的底数是k，它的特点是满k进一。按照位值原则，用
anan-1 a1 a0 (k)
表示k进数an an-1 a1 a0 ，其中，an，an-1 ， ，a1 ，a0 均表示0～(k-1)这k个数中的某一个数。但an≠0(下标ｎ，ｎ-1， ，1，0均为十进数）。an an-1 a1 a0 (k) 读做k进数an ，an-1， ，a1 ，a0 （从左到右，依次读出各个数位上的数的名称）。它的各个计数单位
十进制有它的小数，其计数单位是10-1＝0.1（十分位），10-2＝0.01（百分位）， 。类似地，k进制也有它的小数，其计数单位是k-1，k-2， 。本书只在非负整数范围内讨论问题，不介绍k进制的小数等方面的知识。是
an
第n+1位
kn位an-1
第n位
kn-1位
a1
第二位
k1位
a0
第一位
k0位
这里，底数k的各（自然数）次幂就是k进制的各个计数单位。任何一个k进数都可以写成各个数位上的数与它所在的计数单位（k的幂）之积的和（一般采用从左到右的降幂排列）的形式。
an an-1 a1 a0 (k) ＝an kn ＋an-1 kn-1 ＋ ＋a1 k＋a0
对于k进数an an-1 a1 a0 ，为研究方便，一般称an 为它的最高位上的数，称an-1为它的次高位上的数 并且根据其位数的多少称它为几位k进数。
对于k进制，当k大于10时，现有十进制的10个数字符号已不够使用。为了表示k进数就要对数字符号作一些增加。例如，十一进制可增加符号“0′”（有的书上用“0”）代表“十”，十二进制可再增加符号“1′”（有的书上用“1”）代表“十一”等。
现在，把十进制与二、三、五、八、十二进制的前面几个非负整数列表对照如表1-1所示。
表1-1
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