《中公版·2017考研数学：题海战“数”800题·数学一》 考研数学（一）包含高等数学、线性代数和概率论与数理统计三个科目，所占试卷分值比例分别为56%、22%、22%。本书按科目分为三篇，便于考生根据各个科目的特点有针对性地复习。 高等数学篇分为函数、极限、连续，一元函数微分学，一元函数积分学，向量代数和空间解析几何，多元函数微分学，多元函数积分学，无穷级数，常微分方程，共八章。 线性代数篇分为行列式，矩阵，向量，线性方程组，矩阵的特征值和特征向量，二次型，共六章。 概率论与数理统计篇分为随机事件和概率，随机变量及其分布，多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律和中心极限定理，数理统计的基本概念，参数估计，假设检验，共八章。 正文每一章的第一部分是考试内容及要求，该部分严格贴合考研大纲。第二部是专项训练，按照题型分为选择题、填空题和解答题三部分，每道题目均按星级标记了难易程度，三颗星的题目均附有二维码，考生可扫码听微课程，轻轻松松学数学。
考试内容
函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立
数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：
limx→0sinxx=1，limx→
第二篇线性代数
考试内容
行列式的概念和基本性质行列式按行(列)展开定理
考试要求
1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质。
2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式。
1. (★☆☆)设2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，则D＝()
(A)0。(B)a2。
(C)－a2。(D)na2。
2. (★★☆)四阶行列式
a100b1
0a2b20
0b3a30
b400a4
的值等于()
(A)a1a2a3a4－b1b2b3b4。
(B)a1a2a3a4＋b1b2b3b4。
(C)(a1a2－b1b2)( a3a4－b3b4)。
(D)(a2a3－b2b3)(a1a4－b1b4)。
3. (★★☆)设A=a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33，B=2a11a13a11 a12
2a21a23a21 a22
2a31a33a31 a32，且A=m，则B=()
(A)m。 (B)－8m。
(C)2m。(D)－2m。
4. (★☆☆)α1，α2，α3，β1，β2均为四维列向量，A=(α1，α2，α3，β1)，B=(α3，α1，α2，β2)，且A=1，B=2，则A＋B=()
(A)9。(B)6。
(C)3。 (D)1。
名师讲解
5.(★★★)设矩阵A=1020
0-200
-1010
0001，矩阵B满足AB B A 2E=O，则B E=()
(A)-6。 (B)6。
(C)-112。 (D)112。
1.(★☆☆)设三阶行列式D3的第二行元素分别为1、－2、3，对应的代数余子式分别为－3、2、1，则D3＝。
名师讲解
2.(★★★)已知三阶行列式a112a123a13
2a214a226a23
3a316a329a33=6，则a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33=。
名师讲解
3.(★★★)行列式xyx y
yx yx
x yxy=。
4.(★★☆)设n阶矩阵A＝122…2
222…2
223…2
222…n，则A＝。
5.(★☆☆)行列式9876
1223242
1233343
1234＝。
6.(★★☆)在xOy平面上，平面曲线方程y＝111
23x
49x2，则平面曲线与x轴的交点坐标是。
7. （★☆☆）设A=(α1,α2,α3)是三阶矩阵，且A=4。若B=(α1－3α2 2α3,α2－2α3,2α2 α3)，则B=。
名师讲解
8.(★★★)已知A，B，C都是行列式值为2的三阶矩阵，则D＝O-A
23B-1C=。
9.（★☆☆）设A为奇数阶矩阵，且AAT=ATA=E。若A>0，则A－E=。
10. (★☆☆)设A，B是三阶矩阵，满足AB＝A－B，其中B＝-211
1-21
11-2，则A＋E＝。
11.（★★☆）已知A为三阶方阵，A2－A－2E=O，且0<5，则A 2E=。
12.（★☆☆）设三阶方阵A与B相似，且2E A=0。已知λ1=1，λ2=－1是方阵B的两个特征值，则A 2AB=。
1. (★☆☆)设n阶矩阵A=2a1
a22a
1
a22a。
证明:行列式A=(n 1)an。
2. (★★☆)证明：x-10…00
0x-1…00
000…x-1
a0a1a2…an-1an=anxn an-1xn-1 … a1x a0。
3. （★★☆）计算n阶行列式α βα0…00
βα βα…00
0βα β…00
000…α βα
000…βα β，其中α≠β。
4. （★★☆）计算行列式Dn=1 a21a1a2…a1an－1a1an
a2a12 a22…a2an－1a2an
an－1a1an－1a2…(n－1) a2n－1an－1an
ana1ana2…anan－1n a2n。
名师讲解
5. (★★★)计算D2n=anbn
a1b1
c1d1
cndn ，其中未写出的元素都是0。
(一)选择题
1.【答案】A
【解析】按这一列展开，D＝a1jA1j＋ a2jA2j＋…＋a2njA2nj＝aA1j＋aA2j＋…＋aA2nj，并注意到这一列元素的代数余子式中有n个为a，n个为－a，从而行列式的值为零。所以应选A。
2.【答案】D
【解析】将此行列式按第一行展开，
原式=a1a2b20
b3a30
00a4－b10a2b2
0b3a3
b400=(a1a4－b1b4)a2b2
b3a3
=(a1a4－b1b4)(a2a3－b2b3)，
所以选D。
3.【答案】D
【解析】 方法一：
B=2a11a13a11 a12
2a21a23a21 a22
2a31a33a31 a32＝2a11a13a11 a12
a21a23a21 a22
a31a33a31 a32＝2a11a13a12
a21a23a22
a31a33a32
＝-2a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33＝-2A=-2m。
方法二：将行列式A的第一列加到第二列上，再将第二、三列互换，之后第一列乘以2就可以得到行列式B。由行列式的性质知B=-2A=-2m。
4.【答案】B
【解析】方法一：由矩阵加法公式，得A B=(α1 α3，α2 α1，α3 α2，β1 β2)，结合行列式的性质有
A B=α1 α3，α2 α1，α3 α2，β1 β2
=2(α1 α2 α3),α2 α1,α3 α2,β1 β2
=2α1 α2 α3,α2 α1,α3 α2,β1 β2
=2α1 α2 α3,-α3,-α1,β1 β2
=2α2,-α3,-α1,β1 β2
=2α1,α2,α3,β1 β2
=2(A B)=6。
方法二：
A B=α1 α3,α2 α1,α3 α2,β1 β2=(α1,α2,α3,β1 β2)1100
0110
1010
0001
=α1,α2,α3,β1 β21100
0110
1010
0001=2(A B)=6。
5.【答案】C
【解析】化简矩阵方程，构造B E，用因式分解法，则有
A(B E) (B E)=-E,即(A E)(B E)=-E,
两边取行列式，由行列式乘法公式得
A E·B E=1,
又A E=2020
0-100
-1020
0002=2202
0-10
-102=-12,故B E=-112，因此选C。
(二)填空题
1.【答案】－4
【解析】根据行列式的求解方法：行列式的值等于它的任一行元素与其相应的代数余子式乘积之和,故
D3=a21A21 a22A22 a23A23=1×(-3) (-2)×2 3×1=-4。
2.【答案】16
【解析】结合行列式的性质：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面，即
a112a123a13
2a214a226a23
3a316a329a33=2×3×a112a123a13
a212a223a23
a312a323a33=2×3×2×3×a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33=6,
所以a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33=16 。
3.【答案】－2(x3＋y3)
【解析】将后两列加到第一列上
xyx y
yx yx
x yxy=2x 2yyx y
2x 2yx yx
2x 2yxy=2(x y)1yx y
1x yx
1xy
=2(x y)1yx y
0x-y
0x-y-x=2(x y)x-y
x-y-x
=-2(x3 y3)。
4.【答案】－2(n－2)！
【解析】把第二行所有元素乘以－1加到其他各行所对应的元素上，再将第一行所有元素乘以2加到第二行相应的元素上，可得
A＝-100…0
222…2
001…0
000…n-2=-100…0
022…2
001…0
000…n-2=-2(n-2)!。
5.【答案】120
【解析】将行列式第四行的各元素加到第一行相应元素上后，提出公因子10，然后将第四行逐行换至第二行，即
原式=101111
1223242
1233343
1234=101111
1234
1223242
1233343
=10(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=120。
6.【答案】(2,0)，(3,0)
【解析】曲线y＝111
23x
49x2与x轴(即y＝0)的交点为方程组y=111
23x
49x2，
y=0的解，行列式111
23x
49x2为范德蒙德行列式，即有y=111
23x
2232x2=(3-2)(x-2)(x-3)＝0，解得x＝2或3，故曲线与x轴的交点坐标为(2,0)，(3,0)。
7.【答案】20
【解析】方法一：利用行列式的性质
B=α1－3α2 2α3,α2－2α3,5α3=5α1－3α2 2α3,α2－2α3,α3
=5α1－3α2,α2,α3=5α1,α2,α3=5A=20。
方法二：
B=(α1－3α2 2α3,α2－2α3,2α2 α3)=(α1,α2,α3)100
－312
2－21，
所以B=A·100
－312
2－21=4×5=20。
8.【答案】278
【解析】根据拉普拉斯展开式，得
D=(-1)3×3-A23B-1=-(-1)3A32B-1=2×3231B=278 。
9.【答案】0
【解析】A－E=A－AAT=A(E－AT)=A·E－AT=A·E－A。
由AAT=ATA=E，可知A2=1，因为A>0，所以A=1，即A－E=E－A。
又A为奇数阶矩阵，所以E－A=－(A－E)=－A－E=－E－A，故A－E=0。
10.【答案】116
【解析】由题设，AB＝A－B，则(A＋E)(E－B)＝E，因此
A＋E＝1E-B=13-1-1
-13-1
-1-13=116。
11.【答案】4
【解析】设A的特征值λi对应的特征向量是xi (xi≠0，i=1,2,3)，则Axi=λxi。
由A2－A－2E=O可知，特征向量xi满足(A2－A－2E)xi=0，从而有λi2－λi－2=0，解得λi=－1或λi=2。再根据A=λ1λ2λ3及0<5可得，λ1=λ2=－1，λ3=2。
由Axi=λxi可得(A 2E)xi=(λi 2)xi，即A 2E的特征值μi (i=1,2,3)满足μi=λi 2，所以μ1=μ2=1，μ3=4，故A 2E=1×1×4=4。
12.【答案】18
【解析】由2E A=0，可得－2E－A=0，即λ=－2是A的一个特征值。
因A与B相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知，λ1=1，λ2=－1也是A的特征值，所以A、B的特征值均为λ1=1，λ2=－1，λ3=－2，则E 2B的三个特征值分别为3，－1，－3。从而可得A=λ1λ2λ3=2，E 2B=3×(－1)×(－3)=9，故
A 2AB=A(E 2B)=A·E 2B=18。
(三)解答题
1.【解析】方法一：数学归纳法。
记Dn=A＝2a1
a22a1
a22a1
a22a1
a22an,
以下用数学归纳法证明Dn=(n 1)an。
当n=1时，D1=2a，结论成立。
当n=2时，D2=2a1
a22a=3a2，结论成立。
假设结论对小于n的情况成立,将Dn按第一行展开，则有
Dn=2aDn-1-a21
02a1
a22a1
a22a1
a22an-1=2aDn-1-a2Dn-2
=2anan-1-a2(n-1)an-2=(n 1)an，
故A=(n 1)an。
方法二：消元法。
A=2a1
a22a1
a22a1
a22a1
a22anr2-12ar12a1
032a1
a22a1
a22a1
a22an
r3-23ar22a1
032a1
043a1
a22a1
a22a1
a22an=…
rn-n-1narn-12a1
032a1
043a1
0nn-1a1
0n 1nan=(n 1)an。
2.【解析】本题可利用递推法证明。
记Dn=x-1…00
00…x-1
a1a2…an-1an,则
左边=xDn (-1)n 2a0-10…0
x-1…0
0…x-1=xDn (-1)2n 2a0=xDn a0。
显然D1=an，根据上面的结论有
左边=xDn a0=x(xDn-1 a1) a0=x2Dn-1 xa1 a0=…
=xnD1 an-1xn-1 … a1x a0=anxn an-1xn-1 … a1x a0＝右边,
所以，命题成立。
3.【解析】令Dn=α βα0…00
βα βα…00
0βα β…00
000…α βα
000…βα β，
则将该行列式按第一行展开得
Dn=(α β)Dn－1－αβα…00
0α β…00
00…α βα
00…βα β(n－1)×(n－1)，
再将上式中后面的n－1阶行列式按照第一列展开得Dn=(α β)Dn－1－αβDn－2，则
Dn－αDn－1=β(Dn－1－αDn－2)=β2(D
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