Quantale理论基础_韩胜伟，赵彬编著_9787030495921

Quantale理论是理论计算机科学的数学基础之一,和计算机语言的运算语义与符号语义相联系,刻画了进程语义中的各种观察等价.由于Quantale具有丰富的序结构、代数结构,以及与线性逻辑和计算机理论的紧密联系,受到了数学和理论计算机科学领域的许多学者的密切关注,已成为格上拓扑学的一个研究方向.本著作将系统介绍Quantale理论的基础知识及其应用,主要是作者十几年研究工作的系统总结,同时也兼顾国际上此领域中的最新研究成果.全书共分十章,具体内容包括四部分:1.研究Quantale的内部结构，主要研究Quantale的商结构与子结构、核映射与余核映射；2.特殊的Quantale，包括右侧幂等Quantale、下集Quantale、Z-quantale；3.序半群的Quantale完备化及其应用；4.与Quantale的相关代数系统，包括Quantale模、Quantale代数和广义模糊集等.

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Mulvey在1986年研究非交换C*-代数的谱时首次提出了Quantale的概念，其目的是为研究非交换的C*-代数提供格式刻画，并为量子力学提供新的数学模型，对这种带有偏序代数结构的研究可以追溯到20世纪30年代Ward和Dilworth对剩余格的研究工作。Quantale是一个带有满足结合律的二元运算“&”的完备格，且a&_和_&a均保任意并。因此，Quantale可以看作是Locale的一般化，即Locale在非交换意义下的一种外延扩展。Johnstone关于Frame和Locale的研究著作StoneSpaces较为深远地影响了Quantale理论的发展）Quantale中的许多结构和概念都是在Frame理论的启发下引入的，是在更广泛集合结构上的一般化；同时，Quantale也可以看作是量子逻辑的推广，所以“Quantale”一词是由“Quantumlogic”和“Locale”复合起来的合成词。Quantale理论也是理论计算机科学的数学基础之一，与计算机语言的运算语义与符号语义相联系，刻画了进程语义中的各种观察等价。由于Quantale具有丰富的序结构和代数结构，以及它与线性逻辑和计算机理论的紧密联系，因此受到了数学、逻辑和理论计算机科学领域众多学者的密切关注，已成为格上拓扑学的一个研究方向。目前，Quantale作为赋值格已广泛地应用于加强范畴、模糊集、模糊拓扑和模糊Domain的研究。
　　Mulvey和他的学生Nawaz在20世纪80年代对幂等Quantale进行了深入系统的研究，并对幂等Quantale在非交换的C*-代数方面的应用作了具体的探讨。与此同时，Borceux，Bossche和Rosicky在这些方面也做了大量的工作。Niefield和Rosenthal以范畴论为工具，对Quantale结构的代数性质作了一系列的研究。文献〔30〕，〔31〕，〔34〕研究了Quantale上层结构和预层结构，这些研究工作可以看作是Heyting代数或Frame上层结构和预层结构的扩展。文献〔40〕-〔43〕在一般的Quantale中研究了点的性质，并应用于C*-代数的不可约表示的研究。文献〔44〕-〔48〕系统研究了Quantale的商结构和子结构，为进一步研究Quantale的内部结构提供了理论基础。文献〔49〕-〔52〕研究了Quantale的范畴性质，刻画了Quan-tale范畴中的各种极限结构。与范畴论、层论和Topos理论的结合是Quantale理论研究的又一生长点。
　　为了给理论计算机科学中的并行计算理论和并行过程提供逻辑支持系统，Girard在1987年提出了一种新的逻辑系统——线性逻辑系统，紧接着他给出了这一逻辑系统的一个哲学上的解释。1990年，Yetter在文献〔59〕中把Quantale理论应用到线性逻辑语义的研究中，首次建立了线性逻辑的“位相语义”与Quantale之间的联系，在此基础上提出了“GirardQuantale”，建立了线性逻辑的代数模型。GirardQuantale对线性逻辑的作用就像Heyting代数对直觉逻辑的作用一样，在这个事实的影响下不同类型的Quantale被应用于线性逻辑的研究。自此以后，Quantale理论受到了众多逻辑学家和理论计算机学家的广泛关注。
　　1990年，Rosenthal出版了一本关于Quantale理论的研究专著Quantale and Their Applications，这也是迄今为止唯1的一本较为系统地介绍Quantale理论的专著。该书主要介绍了Quantale的内部结构以及Quantale在环的理想、C*-代数和线性逻辑方面的应用，这对Quantale理论的研究和应用提供了理论基础，在其随后的研究中，许多学者对不同类型的Quantale，以及Quantale在不同领域中的应用做了大量而又系统的工作。自从Mulvey提出Quantale概念的第1篇论文起。距今已经三十年，在这三十年中，Quantale理论的研究和应用得到了较大的发展，其思想和方法对数学、逻辑以及理论计算机科学的若干分支产生了较为深远的影响。Quantale理论的应用研究主要有以下四个方面。

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