《黎曼几何引论（下）》为下册，可以作为“黎曼几何”课程的后续课“黎曼几何II”的教材。当前，微分几何与数学的各个分支的相互影响越来越深刻、关系越来越密切。《黎曼几何引论（下）》较好地反映了这种紧密的联系，其内容共有三章，包括Kahler流形、黎曼对称空间及主纤维丛上的联络。每章末都附有大量的习题，书末并附有习题解答和提示，便于读者深入学习和自学。
《黎曼几何引论（下）》的选材和叙述都有它独到之处，与现有的数学文献相比颇具特色，可作为综合大学、师范院校数学系、物理系等相关专业研究生课程或研究生读者讨论班的教材或参考书，也可供从事微分几何、调和分析，以及数学物理等专门方向的研究人员参考。
《黎曼几何引论》上、下两册的分工是：上册作为基础数学专业研究生课程“黎曼几何引论”的教材，其主要内容应该、而且能够在周学时为3、或4的一学期课程中讲完，重点是黎曼几何的基本概念和基本理论，以及大范围黎曼几何的主要结果和变分方法的运用；下册可以作为后续课程“黎曼几何Ⅱ”的教材，或讨论班的学习材料。当前，微分几何与数学的各个分支的相互影响越来越深刻、关系越来越密切，本书的下册则体现了这种紧密的联系。例如，Kahler流形是复流形几何以及代数几何的主要角色，在本书我们从微分几何的角度论述了Kahler流形上的各种结构的相容性及其几何意义。黎曼对称空间是一类特殊的黎曼流形，有相当丰富的对称性质，与李群和李代数有密切的联系，它是微分几何的重要研究对象，也是调和分析等的演绎舞台。微分几何在数学各个分支中的主要应用是，它提供了一种对于光滑切向量场进行微分的结构，所以联络是微分几何的核心内容。本书的第十章从平行移动的角度阐述了主丛上的联络的由来及其几何意义。一个约定俗成的准则是，一个数学命题是否属于微分几何的范畴，关键是看它是否涉及曲率的概念。曲率是图形或某种空间结构通过微分手段获得的不变量，是微分几何中最基本的概念，是衡量空间的某种结构是否平凡的数量特征。本书各章都要讲到各种结构的曲率及其几何意义为止。
翻阅本书不难发现，本书的选材和叙述与现有的数学文献相比较都有它的独到之处。本书是作者在北京大学学习微分几何和长期从事微分几何教学和研究的经验总结。在这里，我们特别怀念吴光磊教授，因为本书的有些讲法出自吴先生在讨论班上的演讲。例如，复向量空间的对偶空间，向量丛上联络所诱导的水平分布等等都是吴先生在讨论班上曾经讲过的内容，凝集了他的学习心得。而且，他经常要求我们用最简洁的语言把概念清晰地表达出来。我们在本书所追求的目标之一就是把概念的由来和意义讲清楚，而不满足于它们的形式表述。数学的概念不只是术语和公式的堆砌，它们都有发生、发展和推广的过程。我们试图努力反映这种发展的过程。例如，第十章的（2。18）式定义的标架丛上的联络形式θ是主丛上的联络形式的特殊情形，我们还进一步指出：实际上它是向量丛E上的活动标架的相对分量。在这样理解的基础上，我们才能体会到抽象概念的丰富、生动的内涵，而不只是一堆枯燥的公式。当然，本书只提供了K?hler流形、黎曼对称空间、主纤维丛上的联络的基础理论，并不是直接从事这些课题的前沿研究，但是它们为有关课题的前沿研究提供了坚实的基础，我们相信这些内容对于从事微分几何、非线性分析、调和分析和数学物理研究的工作者是十分有用的。
和上册一样，李兴校教授参与了本书的写作，特别是本书的习题、答案和提示以及10。6是由他执笔的。本书的写作得到国家自然科学基金（项目批准号NSFC10271004）的资助，我们对此表示衷心的感谢。作者对责任编辑邱淑清老师的卓有成效的辛勤工作表示感谢。20年多来，她为数学书籍的出版倾注了很多心血，严格、细致的工作作风有口皆碑。借此机会向她表示崇高的敬意。
限于作者的水平，本书中的不足之处肯定是存在的，诚恳地希望读者能不吝指正。
陈维桓，北京大学数学科学学院教授，博士生导师。1964年毕业于北京大学数学力学系，后师从吴光磊先生读研究生。长期从事微分几何方向的研究工作和教学工作，开设的课程有“微分几何”、“微分流形”、“黎曼几何引论”和“纤维丛的微分几何”等。已出版的著作有：《微分几何讲义》（与陈省身合著），《黎曼几何选讲》（与伍鸿熙合著），《微分几何初步》，《微分流形初步》和《极小曲面》等。
李兴校，河南师范大学数学系教授，1994年在四川大学获得博士学位，主要研究方向是子流形微分几何。
第八章 Kahler流形
8．1 复向量空间
8．2 复流形和近复流形
8．3 复向量丛上的联络
8．4 Kahler流形的几何
8．5 全纯截面曲率
8．6 Kahler流形的例子
8．7 陈示性类
习题八
第九章 称曼对称空间
9．1 定义和例子
9．2 黎曼对称空间的性质
9．3 黎曼对称对
9．4 黎曼对称空间的例子
9．5 正文对称李代数
9．6 黎曼对称空间的曲率张量
习题九
第十章 主纤维丛上的联络
10．1 向量丛上的联络和水平分布
10．2 标架丛和联络
10．3 微分纤维丛
10．4 主纤维丛上的联络
10．5 主丛上联络的曲率
10．6 Yang -Mills场简介
习题十
习题解答和提示
参考文献
索引
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