大学数学进阶1（mathematiques speciales 1）（法文版）

定　　价：98 元

丛书名：中法工程师学院预科教学系列丛书

• 作者：Alexander Gewirtz著
• 出版时间：2016/6/1
• ISBN：9787030492692
• 出 版 社：科学出版社

• 中图法分类：O13 
• 页码：378
• 纸张：胶版纸
• 版次：1
• 开本：16K

内容简介

这本教材覆盖了许多不同的数学领域。它包括以下主要内容：数项级数，函数项级数，拓扑和泛函分析初步，多变量微积分，矩阵化简及其在求解线性微分方程组的应用。尽管这些内容是相对独立的，本书可以帮助读者看到并理解不同数学领域之间的联系。每章的开头部分，有关于学习本章所需的预备知识的描述。

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序 言

　  本系列丛书出版的初衷是为中山大学中法核工程与技术学院的学生编写一套合适的教材，中法核工程与技术学院位于中山大学珠海校区，该学院用六年时间培养通晓中英法三种语言的核能工程师.该培养体系的第一阶段持续三年，对应着法国大学校的预科阶段，主要用法语教学，为学生打下扎实的数学、物理和化学知识基础；第二阶段为工程师阶段，学生将学习涉核的专业知识，并在以下关键领域进行深入研究：反应堆安全、设计与开发、核材料以及燃料循环.
　　该丛书数学部分分为以下几册，每册书介绍了一个学期的数学课程：
　　大学数学入门1
　　大学数学入门2
　　大学数学基础1
　　大学数学基础2
　　大学数学进阶1
　　大学数学进阶2
　　每册书均附有相应的练习册及答案.练习的难度各异，其中部分摘选自中法核工程与技术学院的学生考试题目，
　　在中法核工程与技术学院讲授的科学课程内容与法国预科阶段的课程内容几乎完全一致，数学课程的内容是在法国教育部总督导Charles TOROSSIAN及曾任总督导Jacques MOISAN的指导下，根据中法核工程与技术学院学生的需求进行编写的，因此，该丛书的某些书可能包含几章在法国不会被学习的内容.反之亦然，在法国一般会被学习的部分章节在该丛书中不会涉及，即使有，难度也会有所降低

目 录

Tabledesmatières
Chapitre 1Séries numériques 1
1.1 Généralitéssurlesséries:rappels 2
1.1.1 Définitionsetvocabulairedesséries 2
1.1.2 Convergence, divergence, divergence grossière et convergence absolue 3
1.1.3 Opérationssurlessériesconvergentes 5
1.2 Sériesàtermespositifs 6
1.2.1 Rappelsdedeuxièmeannée 6
1.2.1.a Convergence,divergenceetcomparaisondestermesgénéraux 6
1.2.1.b Comparaisonsérie/intégrale 9
1.2.1.c Sériespositivesderéférence 13
1.2.1.d CritèredeD’Alembert 14
1.2.2 Comparaisons des restes ou des sommes partielles 15
1.2.3 FormuledeStirling 20
1.2.4 Produit de Cauchy de deux séries à termes positifs 22
1.2.5 Développement décimal d’un nombre réel 25
1.3 Sériesréelles 29
1.3.1 Rappels 29
1.3.1.a Séries absolument convergentes et semi-convergentes 29
1.3.1.b Critère spécial pour les séries alternées 29
1.3.2 Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes 31
1.4 Sériescomplexes 33
1.4.1 Séries absolument convergentes et semi-convergentes 33
1.4.2 Séries géométriques et exponentielles 34
1.4.3 Transformation d’Abel et applications 35
1.4.4 Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes 37
1.4.5 Sommation des relations de comparaison 38
1.5 Rappels sur les familles sommables et le théorème de Fubini 40
1.5.1 Familles sommables de nombres réels positifs 40
1.5.2 Sériesdoublesàtermespositifs 42
1.5.3 Familles sommables de nombres complexes 43
1.5.4 Sériesdoublescomplexes 44
Chapitre 2Rappels et compléments d’algèbre 46
2.1 Algèbrelinéaire 47
2.1.1 Familleslibres 47
2.1.2 Famillesgénératrices 51
2.1.3 Bases 52
2.1.4 Caractérisation d’une application linéaire par l’image d’une base 56
2.1.5 Rappels sur les propriétés de la dimension 57
2.1.6 Somme de sous-espaces vectoriels et sommes directes 59
2.1.7 Théorèmedurang 68
2.1.8 Matrice d’une application linéaire et calcul matriciel par blocs 69
2.1.9 Dualité 77
2.1.9.a Généralités et lien avec les hyperplans 77
2.1.9.b Crochet de dualité et orthogonalité 80
2.1.9.c Basesdualesetanteduales 84
2.2 Groupesymétrique 90
2.2.1 Définition du groupe symétrique, d’un cycle et d’une transposition 90
2.2.2 Générateursdugroupesymétrique 93
2.2.3 Signatured’unepermutation 94
2.3 Déterminants 97
2.3.1 Formes n-linéaires, symétriques, antisymétriques et alternées 97
2.3.2 Déterminant dans une base B 100
2.3.3 Caractérisation des bases par le déterminant 102
2.3.4 Déterminantd’unendomorphisme 104
2.3.5 Déterminantd’unematricecarrée 106
2.3.6 Calcul pratique du déterminant d’une matrice 110
Chapitre 3Espaces vectoriels normés 115
3.1 Norme sur un espace vectoriel et distance associée 116
3.1.1 Définition d’une norme et de la distance associée 116
3.1.2 Propriétés d’une norme et distance à une partie 118
3.1.3 Normesusuelles 119
3.1.4 Comparaisondesnormes 123
3.2 Topologie élémentaire d’un espace vectoriel normé 128
3.2.1 Partiesouvertes,fermées,bornées 128
3.2.2 Adhérenceetintérieur 135
3.2.3 Partiesdenses 137
3.3 Suitesàvaleursdansunespacevectorielnormé 138
3.3.1 Convergenceetdivergence 138
3.3.2 Opérations algébriques sur les suites convergentes 139
3.3.3 Relationsdecomparaisons 140
3.3.4 Caractérisations séquentielles de l’adhérence et des parties denses 142
3.3.5 Suites extraites, valeurs d’adhérences et parties compactes 144
3.3.6 SuitesdeCauchyetespacecomplet 149
3.4 Limiteetcontinuitéenunpoint 153
3.4.1 Définitionsetpremièrespropriétés 153
3.4.2 Opérationssurleslimites 156
3.4.3 Caractérisations séquentielles de la limite et de la continuité 158
3.4.4 Cas des fonctions à valeurs dans un produit cartésien d’espaces vectorielsnormés 159
3.4.5 CritèredeCauchy 164
3.5 Continuitéglobale 165
3.5.1 Définitionetpremièrespropriétés 165
3.5.2 Caractérisationdelacontinuitéparlesimagesréciproquesd’ouverts (oudefermés) 166
3.5.3 Espace B(X;F ) etnormeinfinie 169
3.5.4 Imagecontinued’uncompact 171
3.5.5 Continuité uniforme et théorème de Heine 172
3.5.6 Applications lipschitziennes et théorème du point fixe 174
3.6 Continuitédesapplicationslinéaires 177
3.6.1 Critèresdecontinuité 177
3.6.2 Norme triple d’une application linéaire 180
3.6.3 Extension aux cas des applications n-linéaires 184
3.7 Casdesespacesvectorielsdedimensionfinie 187
3.7.1 équivalencesdesnormes 187
3.7.2 Compacité de la boule unité fermée et caractérisation des parties compactes 189
3.7.3 Complétude 191
3.7.4 Cas des applications linéaires et multilinéaires 191
3.8 Sériesdansunealgèbrenormée 193
3.8.1 Généralités 193
3.8.2 SériesàvaleursdansunespacedeBanach 195
3.8.3 Cas d’une algèbre normée et exponentielle de matrice 196
Chapitre 4Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles 199
4.1 Dérivation des fonctions d’une variable réelle à valeursvectorielles 200
4.1.1 Définitionetpremièrespropriétés 200
4.1.2 Caractérisation par les fonctions coordonnées 205
4.1.3 Opérations sur les fonctions dérivables 206
4.1.4 Inégalitédesaccroissementsfinis 209
4.1.5 Dérivéesd’ordressupérieurs 211
4.1.6 Fonctions de classe Cn parmorceaux 216
4.2 Casdesfonctionsàvaleursréelles 218
4.2.1 Rappels des principaux théorèmes de deuxième année 218
4.2.2 Homéomorphisme et Ck-difféomorphisme 220
4.3 Développements limités et formules de Taylor 222
4.3.1 Relations de comparaison pour les fonctions à valeurs vectorielles 222
4.3.2 FormuledeTayloravecresteintégral 223
4.3.3 InégalitédeTaylor-Lagrange 223
4.3.4 FormuledeTaylor-Young 225
4.3.5 Développementslimités 226
4.4 Annexe 228
4.4.1 Démonstration de l’inégalité des accroissements finis 228
Chapitre 5Suites et séries de fonctions 231
5.1 Définitionsetmodesdeconvergence 232
5.1.1 Convergencesimple 232
5.1.2 Convergence uniforme et critère de Cauchy uniforme 235
5.1.3 Convergence normale d’une série de fonctions 242
5.1.4 Comparaisons des différents modes de convergence 244
5.1.5 Autresmodesdeconvergence 245
5.2 Propriétés de la limite d’une suite/série de fonctions 247
5.2.1 Théorèmedeladoublelimite 247
5.2.2 Continuitédelalimite 251
5.2.3 Intégration sur un segment d’une suite de fonctions 256
5.2.4 Dérivation d’une suite ou d’une série de fonctions 259
5.2.5 Intégration d’une suite de fonctions sur un intervalle quelconque 268
5.2.5.a Cas des fonctions à valeurs positives 268
5.2.5.b Cas des fonctions à valeurs réelles ou complexes 271
5.3 Théorèmesd’approximationsurunsegment 276
5.3.1 Approximation d’une fonction continue par morceaux sur un segmentparunefonctionenescalier 276
5.3.2 Approximation d’une fonction continue sur un segment par une fonctionpolynomiale 276
5.3.3 Approximationd’unefonctionpériodiqueparunpolyn.metrigonométrique277
Chapitre6Réductiondesendomorphismesetdesmatricesetapplication
aux équations différentielles linéaires 278
6.1 Espaces stables, valeurs propres et vecteurs propres 279
6.1.1 Sous-espacesstables 279
6.1.2 Valeurs propres, vecteurs propres , espaces propres et spectre 280
6.1.3 Propriétésdesespacespropres 282
6.2 Endomorphismes et matrices diagonalisables 285
6.2.1 Endomorphisme diagonalisable : définition et exemples 285
6.2.2 Matricesdiagonalisables 287
6.2.3 Polyn.mecaractéristique 288
6.2.4 Premiers critères de diagonalisabilité 293
6.2.5 Exemplesetcontre-exemples 294
6.2.6 Réductionsimultanée 297
6.3 Applicationauxsystèmesdifférentiels 299
6.3.1 équations différentielles linéaires et théorème de Cauchy Lipschitz linéaire 299
6.3.2 Cas particulier des équations différentielles linéaires à coefficients constants 301
6.3.3 Exemples de résolution de systèmes différentiels et d’équations différentielleslinéaires 303
6.4 Polyn.mes d’endomorphismes ou de matrices 304
6.4.1 Définitionsetrèglesdecalcul 304
6.4.2 Polyn.mes annulateurs et théorème de Cayley-Hamilton 306
6.4.3 Secondcritèredediagonalisabilité 309
6.5 Trigonalisation 311
6.5.1 Définitionetexemples 311
6.5.2 Condition nécessaire et suffisante de trigonalisabilité 312
6.5.3 Trigonalisation des matrices carrées de taille 3 314
6.5.4 Trigonalisationsimultanée 316
6.5.5 Application au calcul de puissances ou d’exponentielles de matrices 317
6.5.6 Exemples de résolution d’un système différentiel X=AX+B lorsque A esttrigonalisable 318
6.6 Annexe 319
6.6.1 Démonstration des propriétés du polyn.me caractéristique 319
6.6.2 Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton 320
Chapitre 7Introduction au calcul différentiel et aux formes différentielles 323
7.1 Limite et continuité des fonctions de plusieurs variables 324
7.1.1 Parties ouvertes, fermées, bornées, compactes, complètes, convexes, étoilées 324
7.1.2 Limiteetcontinuité 326
7.1.3 Fonctions coordonnées et applications partielles 328
7.2 Dérivées partielles, différentielle et fonction de classe C1 330
7.2.1 Dérivéesuivantunvecteur 330
7.2.2 Dérivéespartiellespremières 331
7.2.3 Lien avec les applications coordonnées 333
7.2.4 Différentielle d’une application en un point et matrice jacobienne 334
7.2.5 Lien entre différentiabilité, continuité et existence d’une dérivée suivantunvecteur 337
7.2.6 Différentielle d’une fonction et fonctions de classe C1 340
7.3 Opérations sur les fonctions de classe C1 342
7.3.1 Structure de R-espacevectoriel 342
7.3.2 Cas particulier des fonctions à valeurs réelles 343
7.3.3 Composition 344
7.3.4 Caractérisation des applications de classe C1 349
7.3.5 Inégalités des accroissements finis et applications 350
7.4 Dérivéespartiellesd’ordresupérieur 352
7.4.1 Dérivéespartiellessecondes 352
7.4.2 Fonctions de classe C2 etthéorèmedeSchwarz 353
7.4.3 Matrice hessienne et développements limités d’ordre 2 354
7.4.4 Exemples de résolution d’équations aux dérivées partielles 356
7.4.4.a équation de transport à vitesse constante 356
7.4.4.b équation des ondes unidimensionnelle 357
7.4.5 Fonctions de classe Ck avec k ≥2 358
7.4.6 Caractérisation des Ck-difféomorphismes 359
7.5 Optimisation 360
7.5.1 Caractérisation des extrema locaux intérieurs 360
7.5.2 Notation de Monge et conditions suffisantes d’existence d’un maximumouminimumlocal 361
7.6 Formes différentielles de degré 1 363
7.6.1 Définitionetexemples 363
7.6.2 Formes fermées, exactes et théorème de Poincaré 364
7.6.3 Intégrale curviligne d’une forme différentielle 366
7.6.4 Lien avec la circulation d’un champ de vecteurs 367
7.6.5 Propriétésdel’intégralecurviligne 370
7.6.6 FormuledeGreenRiemann(oudeStokes) 372
7.7 Annexe 373
7.7.1 Démonstration du théorème de caractérisation des applications de classe C1 373
7.7.2 Démonstration du théorème de Schwarz 376
7.7.3 Démonstration de la formule de Taylor-Young 377